Persamaan kuadrat adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang sering digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel-variabel dalam berbagai masalah. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax^2 + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta-konstanta yang diberikan.
Dalam kasus ini, kita memiliki persamaan kuadrat dengan akar-akar yang diketahui, yaitu 6. Persamaan kuadrat ini dapat ditulis dalam bentuk (x – 6)(x – 6) = 0. Dengan mengalikan faktor-faktor ini, kita dapat mencari bentuk persamaan kuadrat yang sesuai.
Langkah pertama adalah menentukan nilai dari a, b, dan c. Dalam persamaan kuadrat (x – 6)(x – 6) = 0, kita dapat melihat bahwa a = 1, b = -12, dan c = 36. Hal ini dapat dilihat dengan membandingkan bentuk persamaan kuadrat dengan bentuk umum ax^2 + bx + c = 0.
Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus diskriminan untuk menentukan sifat-sifat persamaan kuadrat ini. Diskriminan didefinisikan sebagai b^2 – 4ac. Jika diskriminan positif, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda. Jika diskriminan nol, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar real ganda. Jika diskriminan negatif, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real.
Dalam kasus ini, diskriminan = (-12)^2 – 4(1)(36) = 144 – 144 = 0. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan kuadrat ini memiliki satu akar real ganda. Karena kita telah mengetahui akar-akarnya yaitu 6, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan kuadrat ini dapat ditulis dalam bentuk (x – 6)^2 = 0.
Sebagai tambahan, kita juga dapat menentukan bentuk faktorisasi persamaan kuadrat ini. Dalam hal ini, faktorisasi persamaan kuadrat adalah (x – 6)(x – 6). Faktorisasi ini berguna untuk mempermudah perhitungan dan analisis persamaan kuadrat.
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini dan mencari nilai x, kita dapat menggunakan operasi invers dari operasi yang terjadi pada persamaan. Dalam hal ini, operasi yang terjadi adalah pengurangan (x – 6) dan perkalian ((x – 6)(x – 6)).
Dengan melakukan operasi invers, kita dapat menemukan nilai x dengan membagi kedua sisi persamaan dengan (x – 6). Dengan demikian, persamaan menjadi (x – 6) = 0. Kemudian, kita dapat menambahkan 6 ke kedua sisi persamaan, sehingga diperoleh x = 6.
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 6 dan adalah (x – 6)^2 = 0. Persamaan ini dapat difaktorkan menjadi (x – 6)(x – 6) dan memiliki satu akar real ganda yaitu x = 6.
Contoh Soal:
Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat dengan akar-akarnya 3 dan 9. Bagaimana bentuk persamaan kuadrat yang sesuai?
Langkah pertama adalah menentukan faktor-faktor dari persamaan kuadrat ini berdasarkan akar-akarnya. Dalam hal ini, faktor-faktor dari persamaan kuadrat adalah (x – 3) dan (x – 9).
Selanjutnya, kita dapat mengalikan kedua faktor ini untuk mendapatkan bentuk persamaan kuadrat yang sesuai. Dalam hal ini, persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai (x – 3)(x – 9) = 0.
Sebagai tambahan, kita juga dapat mencari faktorisasi persamaan kuadrat ini. Faktorisasi persamaan kuadrat adalah (x – 3)(x – 9).
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini dan mencari nilai x, kita dapat menggunakan operasi invers dari operasi yang terjadi pada persamaan. Dalam hal ini, operasi yang terjadi adalah pengurangan (x – 3) dan perkalian ((x – 3)(x – 9)).
Dengan melakukan operasi invers, kita dapat menemukan nilai x dengan membagi kedua sisi persamaan dengan (x – 3). Dengan demikian, persamaan menjadi (x – 3) = 0. Kemudian, kita dapat menambahkan 3 ke kedua sisi persamaan, sehingga diperoleh x = 3.
Demikian pula, dengan membagi kedua sisi persamaan dengan (x – 9), kita dapat menemukan nilai x = 9. Jadi, persamaan kuadrat dengan akar-akarnya 3 dan 9 adalah (x – 3)(x – 9) = 0.
Kesimpulan:
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 6 dan adalah (x – 6)^2 = 0. Persamaan ini dapat difaktorkan menjadi (x – 6)(x – 6) dan memiliki satu akar real ganda yaitu x = 6. Persamaan kuadrat ini dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel-variabel dalam berbagai masalah matematika.
Contoh soal lainnya adalah persamaan kuadrat dengan akar-akarnya 3 dan 9. Persamaan kuadrat ini dapat ditulis sebagai (x – 3)(x – 9) = 0 dan memiliki dua akar real berbeda yaitu x = 3 dan x = 9.
Pemahaman tentang persamaan kuadrat dan sifat-sifatnya sangat penting dalam matematika. Dengan memahami konsep ini, kita dapat melakukan berbagai operasi matematika yang melibatkan persamaan kuadrat dengan mudah dan akurat.